문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 디랙 델타 함수 (문단 편집) === 발산 정리와의 관계 === 구면 좌표계에서 벡터 함수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{V(r)}=\frac{\mathbf{\hat{r} }}{r^{2}} )]}}} 을 고려하자. 중심이 원점이고 반지름이 [math(r)]인 구 [math(V)]의 표면 [math(S)]를 고려할 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a}=4 \pi )]}}} 가 되는데, 발산 정리에 의하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a}=\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V})\,\mathrm{d}V )]}}} 이고 구면 좌표계에서는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 )]}}} 이기 때문에 결과적으로 [math(\displaystyle 0=4\pi )]를 얻게 된다. 즉, 발산 정리에 구멍이 뚫린 것처럼 보일 수 있다. 하지만, 발산 정리는 '''완전히 타당하다.''' 애초에 발산 정리는 Continuously differentiable한 벡터 함수와 Compact and Piecewisely smooth한 경계를 가진 입체에 대한 정리다. (증명을 해본다면 왜 이런 조건 하에서만 보장하는지 알 수 있다.) 따라서, 원점에선 정의조차 되지 않는, 심지어 제거 가능하게 불연속적이지도 않은 문제의 벡터 함수에 대해서는 (적어도 발산 정리는) 원래부터 아무 얘기도 하지 못하는 것. 그럼에도 불구하고, 우리는 이 함수에 대해서만 특별히 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\mathbf{\hat{r} }}{r^{2}}=4 \pi \delta(\mathbf{r}) )]}}} 이라 둔다. 아마도 일부 사람들은 왜 발산 정리가 적용될 수 없는 이 함수에 대해서만 특별히 이렇게 설정해주는지에 대해 궁금할 수도 있다. 그것은 그것은 물리학과 관계가 있으며, 연속 분포에 대한 물리학 이론을 점에 대해서도 통용시킬 수 있도록 하기 위함이다. 아래의 [[#s-2.4.1|'물리학에서의 이용' 문단]]에서 명확히 알 수 있다. 또한, 이런 성질 때문에 합성곱 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (f\ast g)(t)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t-u)g(u)\,\mathrm{d}u )]}}} 의 [[항등원]]으로 작용하며, [[해석학(수학)|해석학]]에서도 주어진 함수열을 디랙 델타 함수로 근사시켜 여러 정리를 증명하는 수단으로 사용한다.[* 이런 기법을 'Approximation to the identity' 라고 한다.] 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \biggl( \frac{\mathbf{r-r'} }{|\mathbf{r-r'}|^{3}} \biggr)=4 \pi \delta(\mathbf{r-r'}) )]}}} 임을 쉽게 알 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기